1、2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2018 年全国硕士研究生入学统一
考试数学二试题一、选择题: 18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 .1lim ( exax 2bx ) x 21 若 x 0a1 ,b1a 2a 1 ,b 1c22 下列函数中不可导的是（1,则（）a1 , b1b 2a1 ,b1d 2）f (x)x sin(x )f ( x )x sin(x )b.c.f (x)cosxd.f ( x)cos(x )1, x02ax, x1x1x0f ( x)g ( x)1 , x0xbx0若 f ( x)g ( x)
2、 在3 设函数aa3,b1ba3,b 2ca3,b1da3, b21r 上连续， 则（）4 设函数 f( x)在 0,1上二阶可导，且 0f (x)dx 0a 当 f ( x)0f ( 1 )0b 当 f ( x )时，2f ( x)0时， f（ 1） 0f ( x)c 当2d 当(121xmx )(121×2 dx, n2exdx, k25222a. mnkb. mknc. kmnd. knm则 （）0 时，f ( 1 )020时， f ( 1 )02cos x )dx则 m,n,k大小关系为（）02 x212 x2(1 xy)dydx(1 xy)dydxx61x0（）5577a 3b 6c
3、 3d 611 00117 下列矩阵中，与矩阵0 01 相似的为（）1111 010 110 110 010 01b.1111 01c.0 1 00 100 0 10 01d.8 设 a,b 为 n 阶矩阵，记 r (x) 为矩阵 x的秩， ( x y) 表示分块矩阵，则（）a. r ( a ab ) r ( a)b. r ( a ba ) r ( a)c. r ( a b )max r ( a)d. r(ab)r(at bt )填空题: 914 题，每小题4 分，共 24 分 .请将答案写在答题纸指定位置上。lim x 2 arctan( x 1)arctan x9 x10 曲线 yx22l
4、n x 在其拐点处的切线方程是1dx11 5 x24 x3xcos3 t在t4ysin3 t对应点处的曲率为12 曲线zz( x, y) 由方程 ln z ez1 xy确定，则|113 设函数 zx (2,2 )14设a为 3阶矩阵，1,2,3为线性无关的向量组，若a1 2123,a 22 23,a323 ，则 a 的实特征值为三、解答题: 1523 小题，共94 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15（本题满分10 分）求不定积分e2 xarctanex1dx16（本题满分10 分）1xt)dtax2已知连续函数f (t)dttf (xf ( x )
5、 满足 00求 f (x )若 f (x ) 在区间 0,1 上的平均值为1，求 a的值17（本小题10 分）设平面区域d 由曲线18（本小题10 分）xtsin t( x 2 y) dxdy(0 t 2 )y1cost与 x轴围成，计算二重积分d已知常数 kln 21证明: (x 1)(x ln2 x 2kln x 1) 019（本题满分 10 分）将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值20（本小题10 分）l : y4x2 ( x 0), 点 o（0,0），点 a（ 0,1）已知曲线9设 p是 l 上的动点，s是直线 oa
6、 与直线 ap与曲线 l所围图形的面积，若 p 运动到点（ 3,4）时沿 x轴正向的速度是4，求此时 s 关于时间t 的变化率。21（本小题11 分）设数列 xn 满足: x1 0,xnexn 1 exn 1(n 1,2 ) 证明 xn 收敛，并求 limn xn 22（本小题 11 分）设实二次型f (x1,x2 ,x3)(x1 x2 x3)2 (x2 x3)2 (x1 ax3 )2 ，其中 a为参数。求 f (x1,x2, x3 ) 0的解求 f (x1,x2, x3) 的规范形23（本小题11 分）12a1 2aa130b 1 30已知 a是常数，且矩阵2 7a 可经初等列变换化为矩阵2
7、 7a求 a求满足 apb 的可逆矩阵p2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题: 18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 .1cosx（ 1）若函数 f (x)ax, x 0b, x0在 x=0 连续，则(a) ab1(b) ab1(c) ab0(d) ab222（ 2）设二阶可到函数f ( x ) 满足 f (1)f ( 1)1, f (0)1且 f ( x)0 ，则1(a) f (x)dx 011(b) f (x)dx 0201(c)f (x)dxf (x)dx1011(d)f (x)dxf ( x)dx10（
8、3）设数列xn 收敛，则(a) 当 limsin xn0 时， lim xn0nn(b) 当 lim xn ( xnxn )0时，则 lim xn0nn(c) 当 lim( xnx2n )0 ,lim0nn(d) 当 lim( xnsin xn )0 时， lim xn0nn（ 4）微分方程 y 4y 8y e2 x (1 cos2x) 的特解可设为 yk(a) ae2xe2 x(bcos2xc sin2x)2x2xcsin2x)(b) axee (bcos2x(c) ae2xxe2x (bcos2xcsin2x)2x2xcsin2x)(d) axexe (bcos2x（ 5）设 f ( x
9、) 具有一阶偏导数，且在任意的( x, y ) ，都有f (x, y)0, f (x, y) 则xy(a)f (0,0)f (1,1)(b)f(0,0)f (1,1)(c)f(0,1)f (1,0)(d) f (0,1)f (1,0)（ 6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位 :m）处 ,图中，实线表示甲的速度曲线 vv1 t（单位 :m/s）虚线表示乙的速度曲线vv2 t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0 （单位 :s） ,则(a) t010(b) 15t020(c) t025(d) t025v(m / s)102005101520
10、2530t ( s)000（ 7）设 a 为三阶矩阵， p( 1, 2, 3) 为可逆矩阵，使得p1ap 010，则002a( 1, 2, 3)(a)12(b)22 3(c)23(d)12 2200210100（ 8）已知矩阵 a 021， b020， c020，则001001000(a) a 与c相似，b(b) a 与c相似，b(c) a 与 c不相似，(d) a 与 c不相似，与 c相似与 c不相似b与c相似b与c不相似二、填空题:914 题，每小题4 分，共 24 分 .（ 9）曲线 yx1arcsin2x的斜渐近线方程为2xt etd y（ 10）设函数() 由参数方程确定，则yyxy
11、sin tdx2t 0（ 11）0ln(1×2) dx =1x（ 12）设函数 fx , y具有一阶连续偏导数，且df x, yye ydxx1y e ydy , f 0,00 ，则 f x , y =（ 13）1dy1 tanxdx0yx4121（ 14）设矩阵 a12a的一个特征向量为1，则 a3112三、解答题: 1523 小题，共 94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（ 15）（本题满分 10分）xxte t dt求 lim03x 0x（ 16）（本题满分 10分）设函数 fu, v具有 2阶连续性偏导数， yfe x , cosx,求 dy, d2 ydx x0dx 2x
12、 0（ 17）（本题满分 10分）求 limnk2ln1kn1 nnk（ 18）（本题满分 10分）已知函数由方程确定，求的极值（ 19）（本题满分 10分）f ( x ) 在0,1上具有 2 阶导数，f (1)0, limf ( x)0 ，证明xx 0（ 1）方程 f ( x)0在区间 (0,1)至少存在一个根（ 2）方程 f ( x)f( x)f(x)2在区间 (0,1)0内至少存在两个不同的实根（ 20）（本题满分11 分）已知平面区域 dx, yx 2y 22y，计算二重积分x12dxdyd（ 21）（本题满分11 分）设 y( x) 是区间(0, 3 ) 内的可导函数， 且y (1)
13、0，点p是曲线l : yy( x)上的任意一2点，l 在点 p 处的切线与y 轴相交于点 (0,yp ) ，法线与 x轴相交于点 (xp,0)，若 x pyp，求 l 上点的坐标 ( x, y) 满足的方程。（ 22）（本题满分11 分）三阶行列式 a( 1, 2, 3) 有 3 个不同的特征值，且312 2（ 1）证明 r ( a) 2（ 2）如果123求方程组 axb 的通解（ 23）（本题满分11 分）设 f (x1, x2, x3 ) 2x2x22 ax22x1 x2 8x1x3 2x2x3 在正交变换 xqy 下的标准13型为1 y122 y22求 a的值及一个正交矩阵 q .201
14、6 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择: 18 小题，每小题项是符合要求的.4 分，共32 分 .下列每题给出的四个选项中，只有一个选（ 1） 设 a1 x(cos x1) ， a2x ln(1 3 x) ， a33 x 11.当 x0 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（ a ） a1 ,a2, a3 .（b ） a2 ,a3, a1 .（ c） a2 ,a1, a3 .（d ） a3 ,a2, a1 .2(x1),x1,（ 2）已知函数f (x)ln x,x 1,则 f ( x ) 的一个原函数是（ a ） f (x)( x 1)2 ,x1. （ b） f ( x
15、)(x 1)2 ,x 1.x(ln x1),x1.x(ln x1) 1,x1.（ c） f (x)(x 1)2 ,1,x 1. （ d） f ( x)( x 1)2 ,1,x 1.x(ln x1)x1.x(ln x 1)x 1.（ 3）反常积分 0 1 1+112 ex dx， x2ex dx 的敛散性为x0（a） 收敛， 收敛 .（b） 收敛， 发散 .（ c） 收敛，收敛 .（d） 收敛， 发散 .（ 4）设函数 f ( x)在 (,) 内连续，求导函数的图形如图所示，则（ a ）函数 f ( x) 有 2 个极值点，曲线yf ( x) 有 2 个拐点 .（ b）函数 f ( x)有 2
16、个极值点，曲线yf ( x) 有 3 个拐点 .（ c）函数 f ( x)有 3 个极值点，曲线yf ( x) 有 1 个拐点 .（ d）函数 f ( x) 有 3 个极值点，曲线yf ( x) 有 2 个拐点 .（ 5）设函数 fi (x)(i 1,2)具有二阶连续导数，且 fi (x0) 0(i1,2)，若两条曲线y fi (x)(i1,2)在点 (x0, y0 ) 处具有公切线 y g ( x ) ，且在该点处曲线 yf1(x) 的曲率大于曲线 yf2(x) 的曲率，则在 x0 的某个领域内，有（a ） f1(x)f2(x) g(x)（b ） f2(x)f1(x) g(x)（c） f1(
17、x) g(x)f2(x)（d ） f2(x)g(x)f1(x)6f(xy)ex，则（ ）已知函数,xy（ a ） fxf（ 7）设 a ， b 是可逆矩阵，且 a 与 b 相似，则下列结论错误的是（ a） at与bt相似（ b）a 1与b 1相似tt（c）aa 与bb 相似（ 8）设二次型f (x1, x2, x3 )a( x12x22x32 )2x1x22x2x32x1x3 的正、负惯性指数分别为 1,2，则（ a ） a 1（ b） a2（
18、c） 2 a 1（ d） a 1与 a2二、填空题:914 小题，每小题4 分，共 24 分。（ 9）曲线 yx3arctan(1 x2) 的斜渐近线方程为 _.1 x2（ 10）极限 lim 12(sin 12sin 2ln sin n ) _.nnnnn（ 11）以 yx2ex 和 yx2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.) 上连续， 且 f (x) (x 1)2 2×2 时，（ 12）已知函数 f ( x ) 在 (,f (t)dt ，则当 n0f (n) (0) _.（ 13）已知动点 p 在曲线 yx3上运动， 记坐标原点与点p 间的距离为 l .若点 p 的横坐标时间的变化率为
19、常数v，则当点p运动到点(1,1)时， 对时间的变化率是_.0la11110（ 14）设矩阵1a1 与011 等价，则 a_.11a101解答题: 1523 小题，共94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（ 15）（本题满分 10 分）（ 16）（本题满分 10 分）设函数 f (x)122dt (x0)(x) 并求 f ( x) 的最小值 .tx，求 f0（ 17）（本题满分 10分）已知函数 z z( x, y) 由方程 (x2y2)zln z 2(x y 1) 0确定，求 z z( x, y )的极值 .（ 18）（本题满分10 分）设 d 是 由 直 线 y1
20、， yx ， yx 围 成 的 有 界 区 域 ， 计 算 二 重 积 分x2xyy 2 dxdy.dx2y2（ 19）（本题满分10 分）已知y1(x)x ，x是二阶微分方程(21)n(21) 2y0 的解，若ey2 (x) u(x)exyxyu (1)e ， u (0)1 ，求 u(x) ，并写出该微分方程的通解。（ 20）（本题满分11 分）设 d 是由曲线 y1x2 (0 xxcos3 tt围成的平面区域， 求 d 绕 x1) 与02ysin3 t轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。（ 21）（本题满分11 分）已知 f ( x ) 在 0,3 上连续，在 (0, 3 ) 内
21、是函数cos x的一个原函数f (0)0 。222 x3（）求 f ( x) 在区间3 上的平均值；0,2（）证明f ( x) 在区间 (0,3) 内存在唯一零点。2（ 22）（本题满分11 分）111 a0设矩阵 a10a，1，且方程组 ax无解。a11a12a2（）求 a的值；（）求方程组at ax at的通解。（ 23）（本题满分11 分）011已知矩阵a230000（）求 a99（）设 3 阶矩阵 b( 1, 2, 3) 满足 b2ba 。记 b100( 1, 2, 3)，将1, 2, 3分别表示为1, 2, 3 的线性组合。2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题
22、:1 8 小题，每小题4 分，共 32 分 .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .(1) 下列反常积分中收敛的是（）（ a ）1 dx （ b ）ln xdx2x2 x(c)1dx (d)xx dx2 x ln x2 e2(2)函数 f ( x) lim(1sin t ) xt在 (,) 内（）t 0x（ a ）连续 （ b）有可去间断点（c）有跳跃间断点 (d) 有无穷间断点(3)xcos 1, x00,0) ，若 f ( x) 在 x 0 处连续，则（）设函数 f ( x)x(0, x0（ a ）1 (b)01(c)2 (d)02
23、(4)设函数f ( x) 在 (,)连续，其二阶导函数f ( x) 的图形如右图所示，则曲线y f ( x) 的拐点个数为（）（ a ） 0 (b)1 (c)2 (d)3(5).设函数 f (u ， v) 满足 f ( x y,y ) x2y 2ff，则与依次是（）xu u 1v u 1v 1v 1（a） 1 ,0(b)0 ， 1（c）- 1,0 (d)0 ,- 12222(6). 设 d 是第一象限中曲线2xy1,4 xy 1 与直线 y x, y3x 围成的平面区域，函数f ( x, y) 在 d 上连续，则f (x, y)dxdy =（）d12dsin 2, r sin)dr1 f (r
24、 cos1（a） 42sin 2（ b ）2dsin 2142sin211（ c）3dsin 2f (r cos , r sin )dr （ d ）3dsin 21142sin 242sin2f (r cos,r sin) drf (r cos,r sin) dr1111(7) 设矩阵 a= 12a ，b=d,若集合 = 1,2，则线性方程组 axb 有无穷多个14a2d 2解的充分必要条件为（）（ a ） a, d(b) a, d(c) a, d(d) a,d(8) 设 二 次 型 f (x1, x2 ,x3) 在 正 交 变 换 xpy 下 的 标 准 形 为 2y12y22y32, 其
25、中p=(e,e ,e) ，若 q(e,e ,e )，则 f (x ,x , x )在正交变换xpy 下的标准形为（）123132123(a): 2y12y22y32(b)2y12y22 y32(c) 2y12y22y32(d) 2y12y22y32二、填空题:9 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题纸指定位置上 .(9) 设xarctan t则 d2 yy3tt3 ,dx2t 1（ 10）函数 f (x)x2 2x在 x0处的 n 阶导数 f (n)(0)（ 11）设函数 f ( x) 连续，( x)x2xf (t )dt, 若(1)1， (1)5，则 f
26、 (1)0（ 12）设函数 yy( x) 是微分方程 y2y0的解，且在 x0 处 y( x) 取值 3，则 y( x) =（ 13）若函数 zz( x, y ) 由方程 ex 2y 3zxyz1确定，则 dz(0,0) =（ 14）设 3 阶矩阵 a 的特征值为2， -2,1， ba2ae ，其中 e 为 3 阶单位矩阵，则行列式 b=三、解答题:15 23 小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）设函数 f ( x ) xln(1x) bx sin x ， g(x)kx2，若
27、f ( x ) 与 g ( x ) 在 x0 是等价无穷小，求 a,b,k 的值。16、（本题满分 10 分）设 a 0 ， d 是由曲线段 y asin x (0 x) 及直线 y o, x所形成的平面区域，22v1 ， v2 分别表示 d 绕 x 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积，若v1 v2 ，求 a 的值。17、（本题满分10分）已 知 函 数 f ( x, y) 满 足 fxy (x, y) 2(y 1)ex ， fx (x,0)(x1)ex ， f (0, y)2 y, 求f ( x, y) 的极值。18、（本题满分10分）计算二重积分()，其中222。x xy dxdyd( x
28、, y ) xy2, yxd19、（本题满分10分）12×2已知函数 f ( x)1dt1tdt ，求 f ( x ) 零点的个数。xt120、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 0c 的物体在 20 0 c 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30 0c ，若要使物体的温度继续降至21 0 c ，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数 f ( x) 在区间 a,上具有2 阶导数， f ( a)0, f( x)0, 设 ba, 曲线 yf (x)在点 (b, f (b) 处
29、的切线与x 轴的交点是 (x0,0) ，证明: ax0b。22、（本题满分11 分）a10设矩阵 a1a1,且a30 ，（ 1 ） 求 a 的 值 ；（ 2 ） 若 矩 阵 x满 足01ax xa2axaxa2z, 其中 z 为 3 阶单位矩阵，求 x 。23、（本题满分11 分）023120设矩阵a133，相似于矩阵b 0b0，12a031（ 1）求 a,b 的值（ 2）求可逆矩阵p，使 p1ap 为对角矩阵。2014 年考研数学二真题一、选择题1 8 小题每小题4 分，共 32 分1当 x0时，若 ln (1 2x) ， (1cosx ) 均是比 x 高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）（
30、a） (2,)（ b）(1,2)（c） ( 1 ,1)（d） (0, 1 )222下列曲线有渐近线的是（ a） yx sin x（ b） yx2sinx （ c） yx sin 1（ d） yx 2sin 1xx3设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x )f ( 0)(1 x )（ a）当 f ( x )0 时， f ( x )g( x )f ( x )0 时， f ( x )g( x )
31、4曲线xt27,上对应于 t1的点处的曲率半径是（）yt 24t 1（）10（）10(） 10 10（）5 105010025设函数f ( x )arctan x，若f ( x ) xf ( )，则 limx 2（）x 0（）1（） 2（） 1（） 13236设 u( x, y ) 在平面有界闭区域d上连续，在 d的内部具有二阶连续偏导数，且满足2 u2u2 u0 ，则（）0 及y 2x yx 2（ a） u( x , y) 的最大值点和最小值点必定都在区域d 的边界上；（ b） u( x , y) 的最大值点和最小值点必定都在区域d 的内部；（ c） u( x , y) 的最大值
32、点在区域d 的内部，最小值点在区域d 的边界上；（ d） u( x, y) 的最小值点在区域d 的内部，最大值点在区域d 的边界上0ab0a00b7行列式cd等于00c00d（ a）(adbc) 2（ b） (ad bc)2（ c）a2 d 2b2 c2（ d） a 2d 2b2 c28设1 ,2 ,3是三维向量，则对任意的常数k ,l ，向量 1k 3 ，2l 3 线性无关是向量1 ,2 ,3 线性无关的（ a）必要而非充分条件（ b）充分而非必要条件（ c）充分必要条件（d） 非充分非必要条件二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1 192x
33、dxx 2510 设 f ( x )为周期为4的 可 导 奇 函 数 ， 且 f ( x )2( x1), x0,2 ，则f (7)11设zz( x, y) 是 由 方 程 e2 yzx y2z7确定的函数，则4dz | 1 1,2 212 曲 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 r， 则 l 在 点 (r , ),处的切线方程22为13一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间0,1 上，若其线密度( x )x 22×1 ，则该细棒的质心坐标x14设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 )x12x 222ax 1 x34x 2 x3 的负惯性指数是1，则 a 的取值范围是三、解
34、答题15（本题满分10 分）1×1)t )dt( t 2 (e t求极限 lim11xx 2 ln( 1)x16（本题满分 10 分）已知函数 yy( x) 满足微分方程 x 2y 2 y ，且 y(2)0 ，求 y( x ) 的极大值和极小值17（本题满分 10 分）设平面区域 d ( x, y) |1 x 2y 24, x 0. y 0 计算x sin(x 2y 2 ) dxdydxy18（本题满分 10 分）设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， zf (ex cos y) 满足2 z2 z( 4z ex cos y)e2x 若x 2y2f (0)0, f
35、 (0)0 ，求 f ( u) 的表达式19（本题满分10 分）设函数f ( x), g( x) 在区间a.bxa（ 1）g t dt x0( ),aabg ( t )dtba（ 2）f ( x)dxaa上连续，且f ( x ) 单调增加， 0g( x )1，证明:xa, b ；f ( x )g( x)dx 20（本题满分11 分）设函数xf ( x), x,，定义函数列1×0 1f 1 ( x ) f ( x ) ， f 2 ( x )f ( f 1 ( x) ， , f n ( x) f ( f n 1 ( x ),设 sn 是曲线 yf n ( x ) ，直线 x 1,y 0 所围图形的面积求极限lim ns n n21（本题满分 11 分）已 知 函 数 f ( x, y) 满 足f2( y1) ， 且 f ( y, y) ( y 1)2( 2 y) ln y ， 求 曲 线yf ( x , y) 0 所成的图形绕直线y1 旋转所成的旋转体的体积22（本题满分11 分）