名校考研真题
第1章 多项式
一、判别题
1．设q是有理数域，则p＝{α＋βi|α，β∈q}也是数域，其间
．（ ）[南京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】首要0，1∈p，故p非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其间α1，α2，β1，β2为有理数，故
a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈p
ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈p
又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其间α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有
综上所述的p为数域．
2．设f（x）是数域p上的多项式，a∈p，假定a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）而且f（a）＝0，则a是f（x）的k
＋3重根．（ ）[南京大学研]
【答案】错查看答案
【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这儿f（a）＝0，而且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）．
3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可以约．（ ）[南京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因区别法知，它在有理数域上不可以约．
二、核算题
1．f（x）＝x3＋6×2＋3px＋8，试断定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]
解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则
（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4
所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．
（2）若p≠4，则持续曲折相除，即
当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1
即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故
f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）
这时f（x）的三个根为1，1，－8．
2．假定f1（x）与f2（x）为次数不跨越3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］
解：设6次单位根别离为
因为x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.
因为ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，别离将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得
然后f1（－1）＝f2（－1）＝0
即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
又因为f1（x），f2（x）为次数不跨越3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1
三、证明题
1．设不可以约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an的根，证明：q∣a0，p∣an[华中科技大学研]
证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），然后（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是来历多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且
f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋…＋b0，bi∈z
比照两端系数，得a0＝qbn－1，an＝－pb0?q∣a0，p∣an
2．设f（x）和g（x）是数域p上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]
证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其间h（x）∈p（x），两端k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk（x）
（2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）
（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）
（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么
f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①
所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）
因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈p[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h（x）
所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），两端消去dk（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②
由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）
这样持续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1
来历：弘博学习网